Вероятностные характеристики случайных сигналов. Измерение характеристик случайных сигналов Назовите основные статистические характеристики случайных дискретных сигналов

Свойства случайных сигналов оценивают с помощью статистических (вероятностных) характеристик. Они представляют собой неслучайные функции и (или) числа, зная которые, можно судить о закономерностях, которые присущи случайным сигналам, но проявляются только при их многократных наблюдениях.

7.4.1. Характеристики случайных сигналов, не изменяющихся во времени

Основными статистическими характеристиками сигнала, представленного случайной величиной (7.2), являются: функция распределения
, плотность распределения вероятностей
(ПРВ), математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО)и доверительный интервал. Рассмотрим эти характеристики.

, (7.64)

где
- символ вероятности события.

. (7.65)

Размерность ПРВ
обратна размерности величины.

, (7.66)

Результат вычислений по этой формуле отличается от среднего значения случайной величины и совпадает с ним только в случае симметричных законов распределения (равномерного, нормального и других).

Величина называется центрированной случайной величиной. Математическое ожидание такой величины равно нулю.

4. Дисперсия случайной величины определяет средневзвешенное значение квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Дисперсия вычисляется по формуле

(7.67)

и имеет размерность, совпадающую с размерностью квадрата величины

Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле

и, в отличие от дисперсии , имеет размерность, совпадающую с размерностью измеряемой физической величины. Поэтому СКО оказывается более удобным показателем степени разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

В соответствии с правилом «трех сигм», практически все значения случайной величины, обладающей нормальным законом распределения, попадают внутрь интервала
, примыкающего к математическому ожиданию этой величины.

6. Доверительным интервалом называется диапазон возможных значений случайной величины, в котором эта величина находится с заранее заданнойдоверительной вероятностью . Этот диапазон можно записать в виде
, или в виде

т.е. границы доверительного интервала расположены симметрично относительно математического ожидания сигнала , а площадь криволинейной трапеции с основанием
равна доверительной вероятности(рис. 7.7). С ростомдоверительный интервалтакже увеличивается.

Половину доверительного интервала можно определить, решая уравнение

. (7.70)

В практике инженерных расчетов наиболее широкое применение среди перечисленных статистических характеристик случайного сигнала получила ПРВ
. Зная ПРВ, можно определить все другие статистические характеристики сигнала. Поэтому функция
являетсяполной статистической характеристикой случайного сигнала.

Укажем на основные свойства ПРВ:

2.
и
, т.е., зная ПРВ
, можно определить функцию распределения случайной величины
и, наоборот, зная функцию распределения, можно определить ПРВ;

, (7.71)

Отсюда следует условие нормировки ПРВ

. (7.72)

так как вероятность события
равна единице. Если все возможные значения измеряемой случайной величины занимают интервал
, то условие нормировки ПРВ имеет вид

, (7.73)

В любом случае, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком ПРВ, равна единице. Это условие можно использовать для определения аналитического вида (формулы) ПРВ
, если известны только форма графика или только вид этой функции (см. Приложение 5, задача 7.6) .

7.4.2. Характеристики системы случайных сигналов

Процесс измерения характеризуется наличием множества случайных величин и событий, участвующих в формировании результата измерения. Помимо самой измеряемой величины, сюда входят неинформативные параметры объекта контроля, параметры средства измерений, параметры окружающей среды и даже состояние потребителя измерительной информации. Их совокупное влияние на результат измерения выражается в том, что этот результат, полученный вновь при (казалось бы) неизменных условиях измерений, отличается от прежнего результата. Проводя повторные измерения и накапливая данные (статистику), можно, во - первых, составить представление о степени разброса результатов измерений и, во - вторых, попытаться выяснить влияние каждого фактора на погрешность результата измерений.

Если рассматриваются несколько (две и более) случайных величин , то они образуютсистему случайных величин . Такая система кроме перечисленных выше характеристик для каждой случайной величины в отдельности имеет дополнительные характеристики , позволяющие оценить уровень статистических связей между всеми случайными величинами, образующими систему. Такими характеристиками являются корреляционные моменты (ковариации) для каждой пары случайных величин, . Они вычисляются по формуле

, (7.74)

где
-двумерная ПРВ системы двух случайных величин и(с математическими ожиданиямиисоответственно), характеризующаясовместное распределение этих величин.

При отсутствии статистической связи между величинами исоответствующий корреляционный момент равен нулю (т.е.
). Такие случайные величины называютсястатистически независимыми .

При выполнении математических операций со случайными величинами, имеющими известные статистические характеристики, важно уметь определять статистические характеристики результатов этих операций. Ниже такие характеристики приводятся для простейших математических операций:

Если величины статистически независимые, то . т.е. дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

В таблице 7.2. приведены формулы для определения характеристик суммы двух случайных величин. В этом случае ,
, а дисперсияи СКОрезультата суммирования существенно зависят от величины относительного коэффициента корреляции суммируемых величин
, где
.

Таблица 7.2.

Статистические характеристики суммы двух случайных величин

Относительный коэффициент корреляции	Дисперсия	СКО

Равенство
соответствует случаю, когда изменение величинывсегда влечет за собой изменение величиныи всегда в ту же сторону, что и, т.е.
. Если знаки изменений этих величин всегда противоположны друг другу, то
. Наконец, если величиныиимеют конечные дисперсии и статистически не зависят друг от друга, то
. Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных случайных величин .

Если величины статистически независимые, то

, .

,

Аналогично, если
- известная функция двух непрерывных случайных величин , совместная (двумерная) ПРВ которых
известна, то математическое ожиданиеи дисперсиютакой случайной величины можно определить по формулам

, (7.80)

Все предыдущие формулы для вычисления результатов математических операций со случайными величинами можно получить из этих общих формул.

7.4.3. Типовые распределения случайных сигналов

Рассмотрим статистические характеристики непрерывных случайных величин, имеющих типовые распределения.

7.4.3.1. Равномерное распределение .

В случае равномерного распределения случайная величина (7.2) с одинаковой плотностью вероятности попадает в каждую точку ограниченного интервала . ПРВ
и функция распределения
такой случайной величины имеют вид (рис. 7.8)

(7.81)

Другие (частные) статистические характеристики такой случайной величины можно вычислить по формулам

,
,
,
. (7.82)

7.4.3.2. Треугольное распределение (распределение Симпсона)

В этом случае график ПРВ имеет форму треугольника с вершиной в точке
, а график интегрального закона распределения представляет собой плавное сопряжение двух парабол в точке
, где,
,
(рис. 7.9).

(7.83)

Математическое ожидание и дисперсию такой случайной величины можно вычислить по формулам

,
. (7.84)

Если
, то распределение Симпсона становитсясимметричным . В этом случае

,
,
,
. (7.85)

7.4.3.3. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение относится к одному из наиболее часто встречающихся распределений случайных величин. Отчасти это связано с тем, что распределение суммы большого числа независимых случайных величин, обладающих различными законами распределений, часто встречающееся на практике, приближается к нормальному распределению. В этом случае ПРВ и функция распределения имеют вид

,
. (7.86)

СКО и математическое ожидание такой величины совпадают с параметрами
распределения, т.е.
,.

Доверительный интервал не выражается через элементарные функции, но всегда может быть найден из уравнения (7.70). Результат решения этого уравнения для заданного значения доверительной вероятностиможно записать в виде
, где
- квантиль, значение которого зависит от уровня доверительной вероятности.

Существуют табличные значения функции
. Приведем некоторые из них:

,
,
,
,
........

Отсюда видно, что с довольно высокой вероятностью (
) практически все значения случайной величины, обладающей нормальным распределением, попадают в интервал
, имеющий ширину
. Это свойство положено в основу правила «трех сигм».

На рис. 7.10 показаны графики ПРВ и интегрального закона нормального распределения для двух различных значений СКО (
) и одинакового математического ожидания.

Видно, что график ПРВ представляет собой одногорбую «резонансную» кривую с максимумом в точке
, расположенную симметрично относительно математического ожидания. Эта кривая тем «острее», чем меньше СКО. Соответственно, тем меньше разброс возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Однако во всех случаях площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком ПРВ, равна единице (см. (7.72)).

В теории вероятностей кроме рассмотренных выше характеристик применяют еще и другие характеристики случайной величины: характеристическую функцию, эксцесс, контрэксцесс, квантильные оценки и пр. Однако, рассмотренных характеристик вполне достаточно для решения большинства практических задач измерительной техники. Покажем пример решения такой задачи.

Пример 7.4.: Требуется определить параметр А (координату вершины) плотности распределения вероятностей случайного измерительного сигнала, график которой показан на рис. 7.11 (предполагается, что известна только форма этого графика).

Требуется также определить вероятность того, что величина (модуль) сигнала будет больше, чем его СКО , т.е. требуется определить вероятность события
.

Решение: Значение параметра А определим из условия нормировки ПРВ (7.73), которое в данном случае имеет вид

.

Здесь первое слагаемое соответствует площади прямоугольника, лежащего на рис. 7.11 под графиком ПРВ левее пунктирной линии
, второе - площади прямоугольного треугольника, лежащегоправее этой линии. Из полученного уравнения находим
. С учетом этого результата, плотность распределения вероятностей можно записать в виде

Теперь можно вычислить математическое ожидание , дисперсиюи СКОсигнала. По формулам (7.66), (7.67) и (7.68) соответственно получаем:На рис. 7.11 штрихпунктирными линиями показаны границы интервала
.

В соответствии с условием нормировки (7.71), искомая вероятность равна сумме площадей под графиком ПРВ, расположенных левее точки
(в данном примере эта площадь равна нулю) и правее точки
, т.е.

.

7.4.4. Характеристики случайных сигналов, изменяющихся во времени

Случайный сигнал, изменяющийся во времени в общем случае содержит детерминированную (систематическую) и центрированную случайную (флуктуационную) составляющие, т.е.

. (7.87)

На рис. 7.12 показан график одной из ряда возможных реализаций такого сигнала. Пунктиром показана его детерминированная составляющая
, вблизи которой группируются и вокруг которой колеблются все другие реализации сигнала.

Полное представление о характеристиках такого сигнала дает генеральная (полная) совокупность всех его реализаций. На практике она всегда конечна. Поэтому характеристики случайного сигнала, найденные опытным путем, следует считать оценками его действительных характеристик.

В каждый момент времени (т.е. в каждом сечении сигнала) значения случайной функции времени (7.87) представляют собой случайную величину
с соответствующими статистическими характеристиками, рассмотренными выше. В частности, детерминированная составляющая случайного сигнала в каждый момент времени совпадает сматематическим ожиданием соответствующей случайной величины
, т.е.

, (7.88)

где
- одномерная ПРВ случайного процесса (7.87), которая, в отличие от рассмотренной выше ПРВ случайной величины (7.65), зависит не только от, но еще и от времени.

Степень разброса реализаций случайного сигнала относительно его систематической составляющей (7.88) характеризует максимальное значение модуля флуктуационной составляющей сигнала и оценивается по величине СКО этой составляющей, которое в общем случае также зависит от времени

. (7.89)

где
- дисперсия случайного сигнала, вычисляемая по формуле

. (7.90)

Для каждого момента времени можно определить доверительный интервал
(см. (7.70)), а затем построитьдоверительную область , т.е. такую область, в которую реализации случайного сигнала
попадают с заранее заданной доверительной вероятностью(рис. 7.13).

Трех рассмотренных характеристик (
и
) достаточно для того, чтобы составить общее представление о свойствах случайного измерительного сигнала (7.87). Однако, их недостаточно, чтобы судить о внутреннем составе (спектре) такого сигнала.

На рис. 7.14, в частности, показаны графики реализаций двух различных случайных сигналов с одинаковыми математическим ожиданием
и СКО
. Отличие этих сигналов выражается в различном спектральном (частотном) составе их реализаций, т.е. в разной степени статистической связи между значениями случайного сигнала в два момента времени и
, отстоящих друг от друга на величину. Для сигнала, показанного на рис. 7.16,а эта связь более сильная, чем для сигнала на рис. 7.14, б .

В теории случайных процессов подобная статистическая связь оценивается с помощью автокорреляционной функции случайного сигнала (АКФ), которая вычисляется по формуле

, (7.91)

где
-двумерная ПРВ сигнала.

Различают стационарные и нестационарные случайные сигналы. Если сигнал (7.87) стационарный, то его математическое ожидание (7.88) и дисперсия (7.90) не зависят от времени, а его АКФ (7.91) зависит не от двух аргументов и, а только от одного аргумента - величины временного промежутка
. Для такого сигнала

,
,
, где
. (7.92)

Другими словами, стационарный случайный сигнал является однородным по времени , т.е. его статистические характеристики не изменяются при изменении точки отсчета времени.

Если, помимо стационарности, случайный сигнал является еще и эргодическим , то
, а его автокорреляционную функцию можно вычислить по формуле

, (7.93)

не требующей знания двумерной ПРВ
так как в этой формуле в качествеможно использоватьлюбую реализацию сигнала. Дисперсию такого (стационарного и эргодического) сигнала можно вычислить по формуле

, (7.94)

Достаточным условием эргодичности случайного сигнала является стремление к нулю его АКФ
при неограниченном росте временного сдвига.

АКФ случайного сигнала часто нормируется к дисперсии. В этом случае безразмерная нормированная АКФ вычисляется по формуле

. (7.95)

На рис. 7.15 показан типичный график такой АКФ.

Зная эту функцию, можно определить интервал корреляции , т.е. время, по истечении которого значения случайного сигнала можно считатьстатистически не зависящими друг от друга

. (7.96)

Из этой формулы следует, что площадь под графиком нормированной АКФ совпадает с площадью прямоугольника единичной высоты, имеющего в основании удвоенный интервал корреляции
(см. рис. 7.15).

Поясним физический смысл интервала корреляции . Если известна информация о поведении центрированного случайного сигнала «в прошлом», то возможен его вероятностный прогноз на время порядка интервала корреляции . Однако, прогноз случайного сигнала на время, превышающее интервал корреляции, окажется недостоверным, так как мгновенные значения сигнала, столь «далеко» отстоящие друг от друга во времени, являются практически некоррелированными (т.е. статистически не зависящими друг от друга).

В рамках спектрально - корреляционной теории случайных процессов для описания свойств стационарного случайного сигнала достаточно знать только его АКФ
, или толькоэнергетический спектр сигнала
. Эти две функции связаны друг с другом формулами Винера – Хинчина

, (7.97)

, (7.98)

т.е. каждой функции частоты
соответствует вполне определенная функция временного сдвига
и наоборот, каждой АКФ соответствует вполне определенная спектральная плотность мощности стационарного случайного сигнала. Поэтому, зная энергетический спектр флуктуационной составляющей
случайного сигнала (7.87)
, можно определить АКФ этой составляющей
и наоборот. Это подтверждает то, что частотные и корреляционные характеристики стационарного случайного сигнала тесно связаны друг с другом.

Свойства АКФ случайного сигнала
аналогичны свойствам АКФ детерминированного сигнала
.

Автокорреляционная функция
характеризуетстатистическую связь между значениями стационарного случайного сигнала в моменты времени, отстоящие друг от друга по оси времени на величину . Чем меньше эта связь, тем меньше соответствующее значение АКФ. Энергетический спектр
характеризует распределение по оси частот энергий гармонических составляющих случайного сигнала.

Зная энергетический спектр
, или АКФ
флуктуационной составляющей сигнала (7.1)
, можно вычислить её дисперсиюи эффективную ширину спектра (полосу частот)по формулам

, (7.99)

, (7.100)

где
- ордината точки максимума на графике функции
.

Эффективная ширина спектра случайного спектра случайного сигнала аналогична активной ширине спектра
детерминированного сигнала, то есть, как и последняя, определяет такой диапазон частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть средней мощности сигнала (см.(7.55)). Поэтому по аналогии с (7.55) ее можно определять из соотношения

. (7.101)

где - постоянный коэффициент, определяющий долю мощности случайного сигнала, приходящуюся на полосу частот
(например, = 0,95).

На рис. 7.16 дана графическая иллюстрация формул (7.100) и (7.101). В первом случае полоса частот совпадает с основанием прямоугольника, имеющего высоту
и площадь
(рис. 7.19,а ), во втором – с основанием криволинейной трапеции, имеющей площадь
(рис. 7.16,б ). Полоса частот узкополосного случайного процесса располагается в области
, где- средняя частота спектра (рис. 7.16,в ), и вычисляется из соотношения

.

Эффективную ширину спектра случайного сигнала можно определить множеством других способов . В любом случае величины идолжны быть связаны соотношением, подобным соотношению
, имеющему место для детерминированных сигналов (см. раздел 7.3.3).

а б в

В таблице 7.3 приведены спектрально-корреляционные характеристики для трех стационарных случайных сигналов.

В первом пункте этой таблицы приведены характеристики так называемого белого шума - специфического случайного сигнала, значения которого, расположенные сколь угодно близко друг к другу, - независимые случайные величины. АКФ белого шума имеет форму  - функции, а его энергетический спектр содержит гармонические составляющие любых (в том числе сколь угодно высоких) частот. Дисперсия белого шума - бесконечно большое число, т.е. мгновенные значения такого сигнала могут быть сколь угодно большими, а его интервал корреляции равен нулю.

Таблица 7.3.

Характеристики стационарных случайных сигналов

	Автокорреляционная	Интервал корреляции	Энергетический спектр

Во втором пункте таблицы указаны характеристики низкочастотного шума, а в третьем пункте – узкополосного шума. Если
, то эти характеристики этих шумов близки друг к другу.

Случайный сигнал называется узкополосным , если частота значительно меньше средней частоты спектра. Узкополосный случайный сигнал можно записать в виде (см. (7.12)), где функции
и
изменяются значительно медленнее, чем функция
.

Свойства спектрально - корреляционных характеристик стационарного случайного сигнала аналогичны свойствам амплитудного спектра и АКФ детерминированного сигнала. В частности,
и
- четные функции,
и т. д. Есть и отличия. Отличие корреляционных функций заключается в том, что АКФ детерминированного сигнала
характеризует связь сигнала
и его копии
, а АКФ случайного сигнала
- связь значений сигнала
и
в разные моменты времени.

Различие между функциями
и
заключается в том, что функция
представляет собой не точный частотный образ случайного сигнала
, а усредненную характеристику частотных свойств целого ансамбля различающихся между собой реализаций этого сигнала. Этот факт, а также отсутствие в энергетическом спектре
информации о фазах гармонических составляющих случайного сигнала не позволяет восстанавливать по нему форму этого сигнала.

Из формул (7.97) и (7.98) следует, что функции
и
связаны друг с другом преобразованиями Фурье, т.е. (см. (7.46))

и
.

Поэтому, чем шире спектр случайного сигнала (чем больше ), тем уже его АКФ и меньше интервал корреляции.

Анализ различных задач радиотехники показывает, что по су­ществу любой сигнал, несущий информацию, может рассматривать­ся как случайный (стохастический). Это обусловливается, с одной стороны, случайными искажениями сигнала при его распростране­нии и наличием разнообразных (внешних и внутренних) помех, а с другой-несовершенством применяемых радиотехнических устройств и систем. Ряд процессов, влияющих на их технический уровень и качество, относится к категории случайных. Эксперимен­тальный анализ таких процессов также связан с измерением харак­теристик соответствующих случайных сигналов.

Изучение свойств и характеристик случайных сигналов базиру­ется, как известно, на теории вероятностей и математической ста­тистике. Потребность в этом привела к развитию методов и средств, составляющих содержание статистических измерений. Они основа­ны на общих принципах измерения параметров сигналов, но имеют свою специфику и ряд принципиальных особенностей, вытекающих из теории случайных процессов. Напомним исходные определения и сведения о характеристиках случайных сигналов и уточним основ­ные задачи техники статистических измерений.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Случайным называется сигнал, мгновенные значения которого изменяются во времени случайным образом. В связи с этим он описывается случайной функ­цией времени X(t), которую можно рассматривать как бесконечную совокупность (ансамбль) функций x i (t), каждая из которых представляет собой одну из воз­можных реализаций X(t). На рис. 8.1 в качестве примера приведена совокупность реализаций x i (t), где x i (t j)-мгновенное значение сигнала X(t), соответствую­щее значению i -й реализации в j -й момент времени.

Полное описание случайных сигналов может быть произведено с помощью системы вероятностных характеристик. Любая из них определяется либо усред­нением по совокупности реализаций x i (t), либо усреднением по времени для од­ной реализации X(t). В общем случае результаты таких усреднений неодинако­вы, они могут зависеть либо не зависеть от времени или номера реализации. На­личие или отсутствие этой зависимости определяет такие фундаментальные свой­ства сигналов, как стационарность и эргодичность. Стационарным называется сиг­нал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Соответствен­но вероятностные характеристики эргодических сигналов не зависят от номера реализации.

Классификация случайных сигналов по признакам стационарности и эргодич­ности позволяет выделить следующие их виды: стационарные эргодические, ста­ционарные неэргодические, нестационарные эргодические и нестационарные неэргодические. В рамках курса мы ограничимся рассмотрением методов и средств измерения вероятностных характеристик случайных сигналов первого вида как наиболее простого и типичного. Для таких сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по­времени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Другими словами все вероятностные характеристики стационарного эргодического сигнала могут быть получены по одной его реализации. Ясно, что проводить измерения с одной реализацией сигнала значительно проще, чем с совокупностью реализаций.

Для практических приложений наиболее важны следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т (ГОСТ 16465-70):

среднее значение (математическое ожидание), характеризующее, как и

Рис. 8.1. Совокупность реализаций случайного сигнала.

для детерминированных сигналов (см. § 3.1), постоянную составляющую сигнала

(8.1)

средняя мощность, характеризующая энергетический уровень сигнала,

(8.2)

дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей (флюктуации) сигнала,

или среднее квадратическое отклонение его

функция распределения, определяемая как интегральная вероятность того что значение X i (t j) ниже некоторого заданного уровня х,

(8.5)

т. е. для стационарных эргодических сигналов F x характеризуется относитель­ным временем пребывания значений реализации ниже уровня х ( - i -й интер­вал пребывания; п - количество интервалов);

одномерная плотность вероятности, называемая также дифференциальным законом распределения,

(8.6)

где - расстояние между соседними уровнями X i (t j) и , называемое дифференциальным коридором, а - i -й интервал пребывания реализации в пределах этого коридора;

корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями случайного сигнала, разделенными заданным интерва­лом времени ,

или нормированная корреляционная функция

(8.8)

взаимная корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями двух случайных сигналов X(t) иY(t), разделен­ными интервалом времени ,

и соответствующая ей нормированная взаимная корреляционная функция

спектральная плотность мощности, определяющая среднюю мощность сиг­нала, приходящуюся на единицу полосы частот. Распределение средней мощно­сти по частоте характеризует энергетический спектр сигнала. Он может быть определен для каждой реализации x i (t) по общим правилам (см. § 7.8). Оказы­вается, что для стационарных случайных сигналов функция спектральной плот­ности мощности связана с корреляционной функцией парой преобразо­ваний Фурье (теорема Винера - Хинчина):

(8.11)

Если мы имеем два стационарных сигнала X(t) иY(t), они могут быть оха­рактеризованы взаимной спектральной плотностью мощности, которая в общем случае является комплексной величиной . Поэтому на практике опреде­ляют функции действительной и мнимой составляющих :

(8.12)

При расчетах по формулам (8.11) и (8.12) можно пользоваться значениями и . Тогда функции спектральной плотности мощности будут норми­рованными.

Как следует из формул (8.1) - (8.12), все вероятностные характеристики, представляющие собой неслучайные числа или функции, определяются по одной реализации X(t) бесконечной длительности. Практически же длительность Т, на­зываемая продолжительностью анализа, всегда ограничена. Поэтому реально всякая экспериментальная характеристика отличается от соответствующей ве­роятностной (теоретической) характеристики и может являться только ее оцен­кой. Оценки, полученные аппаратурным путем, называются статистическими ха­рактеристиками и обозначаются знаком « » (см. § 1.3). В этом смысле измере­ние характеристик случайных сигналов всегда сопровождается статистическими погрешностями. В остальном метрологические характеристики анализаторов ста­тистических характеристик аналогичны характеристикам приборов других под­групп и регламентируются ГОСТ 8.251-77. Анализаторы статистических харак­теристик входят в подгруппу X (см. § 2.1), где они образуют вид Х6.

Входные сигналы х і (t )

Выходные сигналы АС

Вероятностные выходные сигналы МФСП

Матричные (нечеткие) блоки е і состояния

Блоки сос-тояний π j

у 1

у 2

у 3

у 4

у 5

у 6

у 7

у 8

е 1

е 2

е 3

x 1 , x 8 , x 11

A 22 , А 22

π 4

x 1 , x 8 , x 11

A 2 3 , А 2 4

π 5

x 1 , x 8 , x 11

A 2 5 , А 2 6

π 6

x 2 , x 8 , x 11

A 2 7 , А 2 8

π 7

x 2 , x 8 , x 11

A 2 9 , А 30

π 8

x 2 , x 8 , x 11

A 31 , А 32

π 9

x 3 , x 8 , x 11

A 33 , А 34

π 10

x 3 , x 8 , x 11

A 35 , А 36

π 11

x 3 , x 8 , x 11

A 37 , А 38

π 12

Теоретическая вероятность Р н такого нечеткого перехода в состояние А н равна произведению вероятностей переходов , то есть

Р н = × = × =

В реальных N -уровневых устройствах памяти (N ≥ 3) вероятности нечетких переходов колеблется от 0 до 1 (0 ≤ Р н ≤ 1).

Возможно, при проектировании нейрона предусмотреть установку нейрона в нулевое состояние, когда на выходных сигналах МФСП не будет активного сигнала. Это можно осуществить при подаче на сохраняющие входные узлы МФСП входного сигнала из автомата стратегии е (Δ), который отключит все ее логические элементы, когда на них одновременно подать логическую единицу (этот вариант в данной главе не рассматриваетсяЮ, но поясняется как его можно осуществить).

Заключение к 12 главе

В данной главе были рассмотрены принципы и методы проектирования элементарного трехуровневого разряда нейрона и показаны его однозначные, укрупненные детерминированные, вероятностные и нечеткие переходы.

Показано, как строить такие произвольные элементарные нейроны с аналогичными свойствами, что очень важно для разработчиков нейронов и нейронных сетей.

Этот подход несколько отличается от известных биологических нейронов, но функционально к ним приближается по своим функциональным качествам переходов.

Однако, биологический нейрон обладает качествами связи с другими нейронами. Так выходные сигналы нейрона могут соединяться через аксон с 10 000 подобных нейронов, а входные сигналы через дендриты соединяются с другими нейронами, образуя возбуждающие и тормозящие сигналы.

В следующей 13 главе мы рассмотрим структуру нейрона, состоящую из элементарных нейронов, которая будет решать задачи связи с другими нейронами.

Лекция 13

Когнитивные системы на нейронах

Введение

Рассмотрены свойства искусственного элементарного нейрона, такие как:

1. Он должен хранить информацию. Иначе говоря, иметь память.

2. Обладать свойством: перестраивать структуру своей памяти в процессе работы.

3. Иметь два множества входных сигналов: устанавливающих x (t ) – возбуждающих сигналов и перестраивающих структуру подмножеств памяти е (Δ), при которых запоминаются установленные состояния – тормозящих сигналов.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ ИРАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра метрологии и стандартизации

РЕФЕРАТ

На тему:

« Измерение характеристик случайных сигналов »

МИНСК, 2008

Статистические измерения – это методы и средства измерения параметров и характеристик случайных сигналов. Они базируются на общих принципах измерений параметров сигналов, но имеют свою специфику и особенности, вытекающие из теории случайных процессов.

Вероятностные характеристики случайных сигналов

Случайным называется сигнал, мгновенные значения которого изменяются во времени случайным образом. Он описывается случайной функцией времени Х(t). Эту функцию можно рассматривать как бесконечную совокупность функций x i (t), каждая из которых представляет собой одну из возможных реализаций X(t). Графически это можно представить следующим образом (рисунок 1):

Полное описание случайных сигналов может быть произведено с помощью системы вероятностных характеристик. Любая из этих характеристик может быть определена либо усреднением по совокупности реализации x i (t), либо усреднением по времени одной бесконечно длинной реализации.

Зависимость или независимость результатов таких усреднений определяет следующие фундаментальные свойства случайных сигналов – стационарность и эргодичность.

Стационарным называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени.

Эргодическим называется сигнал, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

Для стационарных эргодических сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Для практических целей наиболее важными являются следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т:

Среднее значение (математическое ожидание). Оно характеризует постоянную составляющую сигнала

; (1)

Средняя мощность. Она характеризует средний уровень сигнала

; (2)

Дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей сигнала:

; (3)

Среднеквадратическое отклонение (СКО)

; (4)

Функция распределения, которая определяется как интегральная вероятность того, что значение xi(tj) в j-й момент времени будут ниже некоторых значений X:

. (5)

Для заданных стационарных эргодичных сигналов F x характеризуется относительным временем пребывания реализации ниже уровня Х (τ i –, i –й интервал пребывания, n – количество интервалов, рисунок 2)

Одномерная плотность вероятности, называемая дифференциальным законом распределения:

, (6) - расстояние между соседними уровнями X(t), называемое дифференциальным коридором; - i – й интервал пребывания реализации в пределах (см. рисунок 1.11).

Корреляционная функция. Она характеризует стохастическую (случайную) связь между двумя мгновенными значениями случайного сигнала, разделенного заданным интервалом времени τ

; (7)

Взаимная корреляционная функция. Она характеризует стохастическую связь мгновенными значениями случайных сигналов x(t) и y(t), разделенными интервалом времени τ

. (8)

Из выражений (1)-(8) видно, что все вероятностные характеристики представляют собой неслучайные числа или функции и определяется по одной реализации бесконечной длительности. Практически же длительность Т, называемая продолжительностью анализа, всегда ограничена, поэтому на практике мы можем определить не сами характеристики, а только их оценки. Эти оценки, полученные экспериментальным путем, называются статическими характеристиками. А раз оценка, значит приближение, которое характеризуется погрешностями, называемыми статистическими погрешностями.

Измерение среднего значения средней мощности и дисперсии

Согласно формуле (1) измерение m x сводится к интегрированию случайного сигнала за время Т. Интегрирование можно выполнить с помощью анало-

говых или цифровыхинтегрирующих устройств, применяемых в вольтметрах.

При практическом выборе времени интегрирования Т надо минимизировать статистические погрешности. Это условие соблюдается при Т

(τ м.к. – максимальный интервал корреляции, за пределами которого выборки сигнала можно считать практически некоррелированными).

Измерение P x характерно тем, что согласно формуле (2) усредняется квадрат сигнала, поэтому измеритель P x содержит в своем составе устройство с квадратичной характеристикой. Задача измерения P x решается с помощью вольтметра среднеквадратичного значения, имеющего открытый вход. Показаниятакоговольтметра равно

.Квольтметрам,измеряющимP x ,предъявляются повышенные требования в отношении широкополосности,протяженности квадратичногоучасткахарактеристикидетектированияивремениусреднения Т.

Для измерения D x тоже может быть использован вольтметр среднеквадратичного значения, только в соответствии с формулой (3) он должен иметь закрытый вход. Показания такого вольтметра согласно (4) будут соответствовать значениям σ х.

Анализ распределения вероятностей

Метод измерения по относительному времени пребывания

При измерении этим методом удобнее измерять не значение τ i , фигурирующее в формуле (7), а значение τ i ’ , характеризующее время пребывания функции х(t) выше уровня х, поэтому при экспериментальном анализе определяется функция

, (9)

Для определения

в соответствии с формулой (7) необходимо образовать дифференциальный коридор ∆х, как показано на рисунке 3, и измерить кроме значений τ i ’еще и τ i ’’, характеризующее время пребывания реализации х(t) выше уровня х+∆х, причем

∆t¢ i =∆t 1i +∆t 2i = τ¢ i – τ² i . (10)

Анализаторы, реализующие данный метод, могут быть как аналоговыми, так и цифровыми. Структурная схема аналогового анализатора предоставлена на рисунке 3.

С помощью ВУ обеспечивается уровень сигнала, необходимый для нормальной работы других функциональных узлов измерителя. Компараторы К1 и К2 выполняют функции амплитудных селекторов и имеют уровни срабатывания х и х+∆х соответственно. Эти уровни задаются регулятором уровня (РУ) и могут изменяться при одновременном обеспечении постоянства ширины дифференциального коридора ∆х. Таким образом сигналы на выходе К1 и К2 имеют вид импульсов U1 и U2 (рисунок 3), длительности которых соответственно равны τ i ’ и τ i ’’ . Формирующие устройства ФУ1 и ФУ2 стандартизируют эти импульсы по форме и амплитуде. Напряжения U1 и U2 позволяют измерить

и .

При измерении

осуществляется усреднение или интегрирование напряжения U1 (переключатель П в положении «1»), а при измерении с помощью схемы вычитания образуется разностное напряжение U3, которое тоже усредняется. Вид индикаторного устройства (ИУ) определяется назначением анализатора. Например, в панорамных анализаторах управление уровнями срабатывания компараторов К1 и К2 осуществляется синхронно и автоматически с разверткой осциллографа, применяемого в качестве ИУ. Такое ИУ позволяет регистрировать графики функций и .

Измерение корреляционных функций

Метод дискретных выборок

Математический аппарат анализа стационарных случайных сигналов основан на гипотезе эргодичности. Согласно гипотезе эргодичности статистические характеристики большого числа произвольно выбранных реализаций стационарного случайного сигнала овпадают со статистическими характеристиками одной реализации достаточно большой длины. Это означает, что усреднение по множеству реализаций стационарного случайного сигнала можно заменить усреднением по времени одной, достаточно длинной реализации. Тем самым существенно облегчается экспериментальное определение статистических характеристик стационарных сигналов и упрощается расчет систем при случайных воздействиях.

Определим основные статистические характеристики стационарного случайного сигнала, заданного в виде одной реализации в интервале (рис. 11.1.1, а).

Числовые характеристики. Числовыми характеристиками случайного сигнала являются среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия.

Среднее значение сигнала на конечном интервале времени равно

Если интервал усреднения - длину реализации Т устремить к бесконечности, то среднее по времени значение согласно гипотезе эргодичности будет равно математическому ожиданию сигнала:

Рис. 11.1.1. Реализации стационарных случайных сигналов

В дальнейшем для краткости знак предела перед интегралами по времени будем опускать. При этом либо вместо знака = будем использовать знак , либо под вычисляемыми статистическими характеристиками будем подразумевать их оценки.

В практических расчетах, когда конечная реализация задана в виде N дискретных значений, отделенных друг от друга равными промежутками времени (см. рис. 8.1), среднее значение вычисляют по приближенной формуле

Стационарный случайный сигнал можно рассматривать как сумму постоянной составляющей, равной среднему значению ,и переменной составляющей , соответствующей отклонениям случайного сигнала от среднего:

Переменную составляющую называют центрированным случайным сигналом.

Очевидно, что среднее значение центрированного сигнала всегда равно нулю.

Так как спектр сигнала х (t) совпадает со спектром соответствующего центрированного сигнала , то во многих (но не всех!) задачах расчета автоматических систем можно вместо сигнала x(t) рассматривать сигнал .

Дисперсия D x стационарного случайного сигнала равна среднему значению квадрата отклонений сигнала от математического ожидания , т. е.

Дисперсия D x является мерой разброса мгновенных значений сигнала около математического ожидания. Чем больше пульсация переменной составляющей сигнала относительно его постоянной составляющей, тем больше дисперсия сигнала. Дисперсия имеет размерность величины х в квадрате.

Дисперсию можно рассматривать так же, как среднее значение мощности переменной составляющей сигнала.

Часто в качестве меры разброса случайного сигнала используют среднеквадратичное отклонение .

Для расчета автоматических систем имеет важное значение следующее свойство:

дисперсия суммы или разности независимых случайных сигналов равна сумме (!) дисперсий этих сигна­лов, т. е.

Математическое ожидание и дисперсия являются важными числовыми параметрами случайного сигнала, но они характеризуют его не полностью: по ним нельзя судить о скорости изменения сигнала во времени. Так, например, для случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) (рис. 11.1.1, б, в) математические ожидания и дисперсии одинаковые, но несмотря на это, сигналы явно отличаются друг от друга: сигнал х 1 (t) изменяется медленнее, чем сигнал х 2 (t).

Интенсивность изменения случайного сигнала во времени можно охарактеризовать одной из двух функций - корреляционной или функцией спектральной плотности.

Корреляционная функция. Корреляционной функцией случайного сигнала х(t) называется математическое ожидание произведений мгновенных значений центрированного сигнала , разделенных промежутком времени , т. е.

где т - варьируемый сдвиг между мгновенными значениями сигнала (см. рис. 11.1.1, а). Сдвиг варьируют от нуля до некоторого значения. Каждому фиксированному значению соответствует определенное числовое значение функции .

Корреляционная функция (называемая также автокорреляционной) характеризует степень корреляции (тесноту связи) между предыдущими и последующими значениями сигнала.

При увеличении сдвига связь между значениями и ослабевает, и ординаты корреляционной функции (рис. 11.1.2, а) уменьшаются.

Это основное свойство корреляционной функции можно объяснить следующим образом. При малых сдвигах под знак интеграла (11.1.12) попадают произведения сомножителей, имеющих, как правило, одинаковые знаки, и поэтому большинство произведений будут положительными, а значение интеграла большим. По мере уве­личения сдвига под знак интеграла будет попадать все больше сомножителей, имеющих противоположные знаки, и значения интеграла будут уменьшаться. При очень больших сдвигах

Рис. 11.1.2. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б) слу­чайного сигнала

сомножители и практически независимы, и число положительных произведений равно числу отрицательных произведений, а значение интеграла стремится к нулю. Из приведенных рассуждений следует также, что корреляционная функция убывает тем быстрее, чем быстрее изменяется случайный сигнал во времени.

Из определения корреляционной функции следует, что она является четной функцией аргумента , т. е.

поэтому обычно рассматривают только положительные значения .

Начальное значение корреляционной функции центрированного сигнала равно дисперсии сигнала, т. е.

Равенство (8.14) получается из выражения (11.1.12) при подстановке .

Корреляционную функцию конкретного сигнала определяют по экспериментально полученной реализации этого сигнала. Если реализация сигнала получена в виде непрерывной диаграммной записи длиной Т, то корреляционную функцию определяют при помощи специального вычислительного устройства - коррелятора (рис. 11.1.3, а), реализующего формулу (11.1.12). Коррелятор состоит из блока задержки БЗ, блока умножения БУ и интегратора И. Для определения нескольких ординат блок запаздывания поочередно настраивают на различные сдвиги

Если же реализация представляет собой совокупность дискретных значений сигнала, полученных через равные промежутки (см рис. 11.1.1, а), то интеграл (11.1.12) приближенно заменяют суммой

которую вычисляют при помощи ЦВМ.

Рис 11.1.3 Алгоритмические схемы вычисления ординат корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б)

Для получения достаточно достоверной информации о свойствах случайного сигнала длину реализации Т и интервал дискретности необходимо выбирать из условий:

где T н t ч и Т в ч - периоды соответственно самой низкочастотной и самой высокочастотной составляющих сигнала.

Спектральная плотность. Определим теперь спектральную характеристику стационарного случайного сигнала . Так как функция не является периодической, она не может быть разложена в ряд Фурье (2.23). С другой стороны, функция из-за неограниченной длительности неинтегрируема, и поэтому не может быть представлена интегралом Фурье (2.28). Однако, если рассматривать случайный сигнал на конечном интервале Т, то функция становится интегрируемой, и для нее существует прямое преобразование Фурье:

Изображение по Фурье непериодического сигнала х(t) характеризует распределение относительных амплитуд сигнала вдоль оси частот и называется спектральной плотностью амплитуд, а функция характеризует распределение энергии сигнала среди его гармоник (см. 2.2). Очевидно, что если разделить функцию на длительность Т случайного сигнала, то она будет определять распределение мощности конечного сигнала среди его гармоник. Если теперь устремить Т к бесконечности, то функция будет стремиться к пределу

который называется спектральной плотностью мощности случайного сигнала. В дальнейшем функцию будем называть сокращенно - спектральная плотность.

Наряду с математическим определением (11.1.18) спектральной плотности можно дать более простое - физическое толкование: спектральная плотность случайного сигнала х (t) характеризует распределение квадратов относительных амплитуд гармоник сигнала вдоль оси .

Согласно определению (11.1.18) спектральная плотность - четная функция частоты. При функция обычно стремится к нулю (рис. 11.1.2, б), причем, чем быстрее изменяется сигнал во времени, тем шире график .

Отдельные пики на графике спектральной плотности свидетельствуют о наличии периодических составляющих случайного сигнала.

Найдем связь спектральной плотности с дисперсией сигнала. Запишем равенство Парсеваля (2.36) для конечной реализации и разделим его левую и правую части на Т. Тогда получим

При левая часть равенства (8.19) стремится к дисперсии сигнала D x [см. (11.1.10)], а подынтегральное выражение в правой части - к спектральной плотности , т. е. вместо (8.19) по­лучим одну из главных формул статистической динамики:

Поскольку левая часть равенства (11.1.20) представляет собой полную дисперсию сигнала, то каждую элементарную составляющую под знаком интеграла можно рассматривать как дисперсию или квадрат амплитуды гармоники с частотой .

Формула (11.1.20) имеет большое практическое значение, так как позволяет по известной спектральной плотности сигнала вычислять его дисперсию, которая во многих задачах расчета автоматических систем служит важной количественной характеристикой качества.

Спектральную плотность можно найти по экспериментальной реализации сигнала при помощи спектрального анализатора (рис. 11.1.3, б), состоящего из полосового фильтра ПФ с узкой полосой пропускания , квадратора Кв и интегратора И. Для определения нескольких ординат полосовой фильтр поочередно настраивают на различные частоты пропускания.

Взаимосвязь между функциональными характеристиками случайного сигнала. Н. Винером и А. Я. Хинчиным было впервые показано, что функциональные характеристики и стационарного случайного сигнала связаны друг с другом преобразованием Фурье: спектральная плотность является изображением корреляционной функции т. е.

а корреляционная функция, соответственно, является оригиналом этого изображения,т.е.

Если разложить множители с помощью формулы Эйлера (11.1.21) и учесть, что , и - четные функции, а - нечетная функция, то выражения (11.1.21) и (11.1.22) можно преобразовать к следующему виду, более удобному для практических расчетов:

Подставляя в выражение (11.1.24) значение получим формулу (11.1.20) для вычисления дисперсии.

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами. В частности: чем шире график функции тем уже график функции , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция (рис. 11.1.4). Кривые 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу (см. рис. 11.1.1, б), в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Кривые 2 соответствуют быстро меняющемуся сигналу х 2 (t) (см. рис. 11.1.1, б), в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.

Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко, и между его предыдущими и последующими значениями корреляция полностью отсутствует, то функция имеет вид дельта-функции (см. рис. 11.1.4, а, прямая 3). График спектральной плотности в этом случае представляет собой горизонтальную прямую в диапазоне частот от 0 до (см. рис. 11.1.4, б, прямая 3). Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется идеальным белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).

Рис 11.1.4 Взаимосвязь между корреляционной функцией (а) и спектральной плотностью (б)

Отметим, что понятие «белый шум» является математической абстракцией. Физические сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру согласно формуле (11.1.20) соответствует бесконечно большая дисперсия, а следова­тельно, и бесконечно большая мощность, что невозможно. Тем не менее, реальные сигналы с конечным спектром часто можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.

Для всех случайных сигналов, действующих в реальных физических системах, существует корреляция между предыдущими и последующими значениями. Это означает, что корреляционные функции реальных сигналов отличаются от дельта-функции и имеют конечную, не равную нулю длительность спада. Соответственно и спектральные плотности реальных сигналов всегда имеют конечную ширину.

Характеристики связи двух случайных сигналов. Для описания вероятностной связи, проявляющейся между двумя случайными сигналами, используют взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность.

Взаимная корреляционная функция стационарных случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) определяется выражением

Функция характеризует степень связи (корреляции) между мгновенными значениями сигналов х 1 (t) и х 2 (t), отстоящими друг от друга на величину . Если сигналы статистически не связаны (не коррелированы) между собой, то при всех значениях функция .

Для взаимной корреляционной функции справедливо следующее соотношение, вытекающее из определения (8.25):

Корреляционная функция суммы (разности) двух коррелированных между собой сигналов определяется выражением

Взаимная спектральная плотность случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t) определяется как изображение по Фурье взаимной корреляционной функции:

Из определения (11.1.28) и свойства (11.1.26) следует, что

Спектральная плотность суммы (разности) случайных сигналов х 1 (t) и х 2 (t)

Если сигналы х 1 (t) и х 2 (t) некоррелирвоаны между собой, то выражения (11.1.27) и (11.1.29) упрощаются:

Соотношения (11.1.31), а также (11.1.11), означают, что статистические характеристики и D x совокупности нескольких некоррелированных друг с другом случайных сигналов всегда равны сумме соответствующих характеристик этих сигналов (независимо от того, с каким знаком сигналы суммируются в эту совокупность).

Типовые случайные воздействия. Реальные случайные воздействия, влияющие на промышленные объекты управления, весьма разнообразны по своим свойствам. Но прибегая при математическом описании воздействий к некоторой идеализации, можно выделить ограниченное число типичных или типовых случайных воздействий. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых воздействий представляют собой достаточно простые функции аргументов и . Параметры этих функций, как правило,можно легко определить по экспериментальным реализациям сигналов.

Простейшим типовым воздействием является белый шум с ограниченной шириной спектра. Спектральная плотность этого воздействия (рис. 11.1.5, а) описывается функцией

Где - интенсивность белого шума. Дисперсия сигнала согласно (11.1.20)

Корреляционная функция согласно (11.1.24) в данном случае имеет вид

Учитывая (11.1.33), функцию (11.1.34) можно записать в следующем виде:

График функции (11.1.35) показан на рис. 11.1.5, б.

Рис. 11.1.5. Спектральные плотности и корреляционные функции типовых случайных сигналов

Наиболее часто в практических расчетах встречаются сигналы с экспоненциальной корреляционной функцией (рис. 11.1.5, г)

Применяя к корреляционной функции (11.1.36) преобразование (11.1.23), находим спектральную плотность (рис. 11.1.5, в)

Чем больше параметр а х, тем быстрее уменьшается корреляционная функция и тем шире график спектральной плотности. Ординаты функции при увеличении а х уменьшаются. При рассматриваемый сигнал приближается к идеальному белому шуму.

При ориентировочных расчетах параметр а х можно определить непосредственно по реализации сигнала - среднему числу пересечений центрированным сигналом оси времени: .

Часто случайный сигнал содержит скрытую периодическую составляющую. Такой сигнал имеет экспоненциально-косинусную корреляционную функцию (рис. 11.1.5, е)

Параметр этой функции соответствует среднему значению «периода» скрытой составляющей, а параметр а х характеризует относительную интенсивность остальных случайных составляющих, которые наложены на периодическую составляющую. Если показатель , то относительный уровень этих составляющих невелик, и смешанный сигнал близок к гармоническому. Если же показатель , то уровень случайных составляющих соизмерим с «амплитудой» периодической составляющей. При корреляционная функция (8.38) практически совпадает (с точностью 5 %) с экспонентой (11.1.36).