Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.
Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.
где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.
Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:
2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.
Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.
Причинами свободных колебаний математического маятника являются:
1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.
2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.
Период свободных колебаний математического маятника
Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из положения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
Полная энергия пружинного маятника:
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при
колебаниях пружинного маятника происходи
в соответствии с законом сохранения
механической энергии (
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями . Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ 0 , происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях в двух случаях: в системе нет трения; в системе есть трение.
Превращения энергии в системах без трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3), вправо на расстояние х m , мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:
При движении шарика влево деформация пружины становится меньше, и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, возрастает кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия колебательной системы становится равной нулю (W п = 0 при х = 0). Кинетическая же энергия достигает максимума.
После прохождения положения равновесия скорость шарика начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия системы снова увеличивается. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Нетрудно проследить за тем, что такие же превращения механической энергии из одного ее вида в другой происходят и в случае математического маятника.
Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:
Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости (см. формулу (3.26)).
Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело.
Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими .
График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 3.10. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник.
На рисунке 3.11 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости своей координаты от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий достаточно полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, то затухание станет значительным.
В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний.
Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется неизменной.
Если на тела системы действуют силы сопротивления, то колебания являются затухающими.
При изучении этой темы решают задачи по кинематике и динамике упругих колебаний. Полезно при этом сопоставление упругих колебаний с уже рассмотренными колебаниями маятника для выявления как их общих, так и специфических черт.
Решение задач требует применения второго закона Ньютона, закона Гука и формул кинематики гармонического колебательного движения.
Период упругих гармонических колебаний тела массой определяют по формуле (№ 758). Эта формула позволяет определить период различных гармонических колебаний, если известно значение Для упругих колебаний это коэффициент жесткости, а для колебаний математического маятника (№ 748).
В задачах о превращениях энергии в колебательном движении в основном рассматривают превращение кинетической энергии в потенциальную. Но для случая затухающих колебаний учитывают также превращение механической энергии во внутреннюю. Кинетическая энергия упругих колебаний
Потенциальная энергия
Будут ли отличаться и как колебания тел разной массы на одной и той же пружине? Ответ проверьте на опыте.
Ответ. Тело большей массы будет иметь больший период колебаний. Из формулы следует, что при одной и той же силе упругости тело большей массы будет иметь меньшее ускорение и, следовательно, будет двигаться медленнее. Это можно проверить, приводя в колебание подвешенные на динамометре грузы разной массы.
757(э). На пружину подвесили груз и затем поддерживали его так, чтобы пружина не растягивалась. Опишите, как будет двигаться груз, если убрать поддерживающую его опору. Ответ проверьте на опыте.
Решение, Отпустим груз свободно падать вниз. Тогда он растянет пружину на величину которую можно определить из соотношения
По закону сохранения энергии при обратном движении вверх груз поднимается на высоту будет совершать колебания с амплитудой h. Если же груз подвесить на пружине, он растянет ее на величину
Следовательно, положение, в котором висит груз в состоянии покоя, является центром, около которого совершаются колебания. Этот вывод легко проверить на «мягкой» длинной пружине, например от прибора «ведерко Архимеда».
758. Тело массой под действием пружины, имеющей жесткость совершает без трения колебания в горизонтальной плоскости вдоль стержня а (рис. 238). Определите период колебания тела, используя закон сохранения энергии.
Решение. В крайнем положении вся энергия тела потенциальная, а в среднем - кинетическая. По закону сохранения энергии
Для положения равновесия Следовательно,
759(э). Определите коэффициент жесткости резиновой нити и рассчитайте период колебания подвешенной на ней гири массой . Ответ проверьте на опыте.
Решение. Для ответа на воррос задачи учащиеся должен иметь резиновую нить, грузик массой 100 в, линейку и секундомер
Подвесив груз на нить, сначала рассчитывают величину численно равную силе, которая растягивает нить на единицу длины. В одном из опытов были получены следующие данные. Начальная длина нити см, конечная Откуда см
Измерив по секундомеру время 10-20 полных колебаний груза, убеждаются, что период, найденный расчетами, совпадает с полученным из опыта.
760. Используя решение задач 757 и 758, определите период колебаний вагона на рессорах, если его статическая осадка равна
Решение.
Следовательно,
Мы получили интересную формулу, по которой легко определить период упругих колебаний тела, зная только величину
761 (э). Используя формулу рассчитайте, а затем проверьте на опыте период колебаний на пружине от «ведерка Архимеда» грузов массой 100, 300, 400 г.
762. Пользуясь формулой получите формулу периода колебаний математического маятника.
Решение. Для математического маятника поэтому
763. Используя условие и решение задачи 758, найдите закон, по которому изменяется сила упругости пружины, и запишите уравнения данного гармонического колебательного движения, если в крайнем положении тело обладало энергией
Решение.
Примем, что Амплитуду колебаний А определим из формулы
Аналогично подставив значение массы, амплитуды и периода в общие формулы смещения, скорости и ускорения, получим:
Формулу ускорения можно было такжеполучить, пользуясь формулои силы
764. Математический маятник, имеющий массу и длину отклонили на 5 см. Какую скорость ускорение а и потенциальную энергию он будет иметь на расстоянии см от положения равновесия?
Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях для двух случаев: в системе нет трения; трение в системе есть. Превращение энергии в системах без трения. Сместив шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние хт, мы сообщаем колебательной системе запас потенциальной энергии: При движении шарика влево деформация пружины становится меньше и потенциальная энергия уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, растет кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия становится минимальной. Кинетическая же энергия достигает максимума. После прохождения положения равновесия скорость начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия снова растет. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это же самое можно проследить и на колебаниях маятника. Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий: Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия замкнутой системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, остается согласно закону сохранения энергии неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия: Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости Затухающие колебания. Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы. сопротивления, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело. Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими. График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 63. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник. На рисунке 64 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости координат от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий весьма полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, то затухание станет значительным. В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова на рессорах при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний. Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения остается неизменной. Если в системе есть силы сопротивления, то колебания являются затухающими.
Описание видеоурока
Составим уравнение колебания шарика, нанизанного на гладкий горизонтальный стержень под действием силы упругости пружины. По второму закону Ньютона произведение массы тела на вектор ускорения есть равнодействующая всех сил, приложенных к телу. Сила, действующая на шарик, - это сила упругости растянутой или сжатой пружины. Её проекция по закону Гука равна произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Подставляем выражение для силы упругости во второй закон Ньютона, получаем: произведение массы шарика на его ускорение равно произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Разделим обе части уравнения на массу тела. Получаем, что проекция ускорения равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на смещение тела относительно положения равновесия. Так как масса тела и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение - также постоянная величина. Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости: проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.
Аналогичным образом можно получить уравнение движения математического маятника. Оно схоже по форме с уравнением, которое описывает колебания тела под действием силы упругости. Проекция ускорения математического маятника равна взятому с обратным знаком произведению отношения ускорения свободного падения к длине нити на смещение тела относительно положения равновесия. Так как ускорение свободного падения и длина нити — постоянные величины для данного маятника, то их отношение - также постоянная величина. Значит, проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком. Для двух рассмотренных колебательных систем справедливы одинаковые по форме уравнения движения: ускорение тела, совершающего колебания, прямо пропорционально смещению от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.
Из курса математики известно, что ускорение точки — это производная ее скорости по времени или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнения движения тела, совершающего колебательные движения под действием силы упругости, можно записать таким образом: вторая производная координаты тела по времени равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на координату тела. Вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают. Это значит, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Запишем это уравнение, используя функцию косинуса. Тогда оно примет следующий вид: координата колеблющегося под действием силы упругости тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения корня квадратного из отношения жесткости пружины к массе груза на время колебаний. Мы получили уравнение зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени.
На рисунке изображено изменение координаты точки со временем по закону косинуса. Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Существует ряд величин, характеризующих колебательное движение. Отклонение тела от положения равновесия называют смещением. Амплитудой гармонических колебаний называется максимальное расстояние, на которое тело отклоняется от положения равновесия. Амплитуда зависит от начальных условий колебаний. Время одного полного колебания называется периодом колебаний. Период колебаний измеряется в секундах. Частотой колебаний называется число колебаний за единицу времени. Единица частоты колебаний в интернациональной системе единиц - герц. 1Герц (Гц)- частота такого колебательного движения, при котором
колеблющееся тело совершает одно полное колебание за одну секунду.
Циклическая или круговая частота - величина, которая показывает, сколько колебаний тело совершает за 2π секунд. Единица циклической частоты - радиан в секунду. Выведенная из состояния равновесия колебательная система совершает свободные колебания с определенной частотой, поэтому её называют собственной частотой колебательной системы. Для пружинного маятника собственная частота колебаний определяется как корень квадратный из отношения жесткости пружины к массе груза. Собственная частота математического маятника равна корню квадратному из отношения ускорения свободного падения к длине маятника. Если подставить выражение для собственной частоты в формулу уравнения зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени, то это уравнение примет следующий вид: координата колеблющегося тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения циклической частоты системы на время колебаний.
Период свободных колебаний зависит от параметров самой системы. При колебаниях груза на пружине период зависит от жесткости пружины и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем меньше период колебаний; чем массивней груз, тем больше период колебаний. Для математического маятника период колебаний зависит только от длины нити: чем длиннее нить, тем больше период колебаний. От массы маятника он не зависит.
В уравнении, описывающем свободные колебания, под знаком косинуса находится произведение циклической частоты колебаний на время. Это произведение называют фазой колебаний. Выражается фаза в угловых единицах радианах. Фаза определяет значение координаты и других физических величин, например, скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. При совершении колебательных движений энергия системы переходит из одной формы в другую. Рассмотрим колебания шарика на пружине и предположим для простоты, что в колебательной системе отсутствуют силы трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние х максимальное, мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию, равную половине произведения жесткости пружины на квадрат расстояния от положения равновесия. Под действием силы упругости шарик начнет двигаться влево, при этом деформация пружины станет меньше, и потенциальная энергия системы уменьшится. Но одновременно увеличится скорость и, следовательно, возрастет кинетическая энергия. Когда шарик будет проходить точку равновесия, деформация пружины будет равна нулю, следовательно, потенциальная энергия колебательной системы станет равной нулю. Скорость шарика в этой точке максимальна, значит, кинетическая энергия достигает максимума. При дальнейшем движении скорость шарика будет уменьшаться, а деформация пружины будет увеличиваться. Кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Мы видим, что при колебаниях шарика на пружине периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы. Согласно закону сохранения механической энергии при отсутствии трения полная механическая энергия изолированной системы неизменна.
В реальных колебательных системах всегда действуют силы трения. Они совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Часть механической энергии системы расходуется на преодоление сил трения и переходит во внутреннюю энергию тел системы и окружающей среды. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. После того, как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Любые свободные колебания являются затухающими.
Loading...